Биноминальная модель

rB

=

Cd

(2);

Значения Cu и Cd в момент 1, когда закончится срок опциона известны, так как известны характеристики опциона и стоимость обыкновенных акций. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая уравнение AdS+rB=Cd из AuS+rB=Cu, получим решение относительно u:

As (u-d)=Cu-Cd

Преобразуя, получим:

A

=(

Cu

-

Cd

)\

S

(

u

-

d

)

(3);

Величина А называется коэффициентом хеджирования, она определяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы получить такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона.

Решаем уравнения 1 и 2 относительно В:

B= (uCd – dCu)\(u-d)*r

(4)

Портфель, состоящий из одного опциона покупателя, в любом случае принесёт такой же доход, что и портфель из В облигаций и А обыкновенных акций. Поэтому в состоянии равновесия первоначальная стоимость обоих портфелей должна быть одинаковой. Для этого должно выполняться равенство:

C

=

AS

+

B

(5).

Стоимость опциона покупателя С должна быть равна AS+B, иначе есть возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль.

Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона покупателя не было необходимости знать вероятности исходов u и d. Вероятности могут повлиять на стоимость опциона покупателя, но только косвенно. Если вероятность u велика, цена акции S, несомненно, выросла бы, и из уравнения (5) можно увидеть, что рост S увеличивает стоимость опциона С. Модель не показывает, как оценивать акции. Она показывает, как оценивать опционы покупателя, зная цену акции. Другими словами, цена опциона покупателя зависит от цены акции.

Кроме того, модель не требует, чтобы инвесторы договаривались о вероятности исхода u. Оптимистично настроенные по отношению к u инвесторы, возможно захотят обладать большим количеством акций (или опционов покупателя). Но при заданной цене акции, они придут к соглашению относительно цены опциона. Покажем, как только что описанная модель используется для формирования хеджированного портфеля и определения стоимости опциона покупателя при заданных условиях.

Пример.

S = 100 $; u = 1,5; d = 1,0; K = 120 $; rf = 0,10; r =1,10;

Cu = max (uS – K, 0) = max (150 $. – 120 $, 0) = 30 $;

Cd = max (dS – K, 0) = max (100 $ – 120 $, 0) = max (-20 $) = 0.

Срок опциона закончится через один период. Сейчас цена акций равна 100 $, а через один период цена будет или 150 $, или 100 $

uS = 1,5* 100 долл. = 150 $;

dS = 1,0*100 долл. = 100 $;

Если цена исполнения опциона 120 $, то стоимость опциона в конце периода будет либо 30 $(при цене акций 150 $), либо 0 (при цене акций 100 $). Чтобы найти А и В, воспользуемся уравнениями (3) и (4):

Так как (u-d) = 0.5 и Cu – Cd = 30 $, то

A = (Cu – Cd)\(u – d)*S = 30 $ /0.5*100 $;

B= (uCd – dCu)\(u-d)*r = (-1)*30 $/0.5 (1.1) = (-60)$/1.1 = (-54.55)$;

Отрицательное значение B показывает, что следует использовать заёмный капитал. На каждый опцион следует купить 0.6 обыкновенных акций на сумму 0.6*100 $ = 60 $ и взять заём 60 $/(1.1) = 54.55 $(в период 1 в счёт погашения долга будет уплачено 60 $).

Если произойдёт событие u, то стоимость портфеля будет:

Сатьи по теме:

Проблемы управления рисками в деятельности российских коммерческих банков в современных условиях
Проблемы управления рисками для российских коммерческих банков в условиях повышения качества и предложения банковских продуктов, вовлечения банков в международную банковскую систему имеют особое значение и актуальность. Высокие риски вызывают недоверие не только со стороны отечественных клиентов, н ...

Розничный и оптовый рынок банковских услуг
Как и любой другой рынок, рынок банковских услуг также имеет две движущие силы – покупателя и продавца. Причем, как первый, так и второй находятся в прямой обоюдной зависимости. Выражается это тем, что спрос и предложение должны находиться в состоянии уравновешения, иначе в проигрыше будут обе стор ...

Примеры опционов «колл» и «пут»
Пример опциона колл Инвестор купил европейский опцион «колл» на 100 акций компании А по контрактной цене 100 у.е. за акцию. Текущий курс акции в момент заключения контракта составляет 138 у.е. Контракт истекает через 3 месяца. Цена опциона(премия) за одну акцию составляет 5 у.е. Таким образом, при ...